Dekomposisi Matriks dengan Metode Doolittle

Dekomposisi Matriks dengan Metode Doolittle

Suatu persamaan linear dapat diselesaikan secara langsung. Salah satu caranya adalah dengan menggunakan dekomposisi LU. Pada metode ini suatu sistem persamaan linier yang berbentuk:

 

difaktorisasi menjadi:

 

Pada dekomposisi LU metode Doolittle, semua komponen diagonal matriks L bernilai 1 sehingga representasi matriks di atas menjadi:

Untuk menghitung setiap komponen matriks L dan U dari matriks A dengan ukuran n x n dapat dengan menggunakan algoritma sebagai berikut:
1. Dapatkan nilai matriks U pada baris pertama:
    untuk i = 1 sampai n

2. Hitung nilai:
    untuk i=2 sampai n

3. untuk i = 2 sampai n-1

 

                   untuk j = i + 1 sampai n

 

4. Hitung indeks terakhir:

                             

Proses dekomposisi selesai sampai disini, proses berikutnya adalah untuk menyelesaikan sistem persamaan linier nya.

Dari dekomposisi berikut:

Matriks L dan U sudah kita dapatkan, dan dengan memisalkan:

maka

untuk mendapatkan nilai vektor y dapat dilakukan dengan substitusi maju sebagai berikut:

untuk i=2 sampai n

nilai vektor x didapatkan dengan melakukan substitusi mundur persamaan:

dengan cara:

untuk i=n-1 sampai 1

Selesai!!Sistem persamaan linier tersebut sudah dapat diselesaikan, dengan catatan:

• matriks harus square.
• tidak ada komponen diagonal bernilai nol (jika ada yang bernilai nol harus dilakukan pertukaran baris terlebih dahulu).

DEKOMPOSISI : METODE DOOLITTLE

Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Doolittle adalah :

Rumus perhitungannya :

MATERI DETERMINAN DAN PENJELASAN DEKOMPOSISI MATRIK DAN DETERMINAN                                                              

A. Pengertian dan Definisi Determinan

Determinan adalah suatu bilangan real yang diperoleh dari suatu proses dengan aturan tertentu terhadap matriks bujur sangkar.

Determinan dinyatakan sebagai jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari matriks bujur sangkar A. 

Determinan dari sebuah matriks bujur sangkar A, dinotasikan dengan det(A), atau |A| 

B. Sifat-Sifat Determinan

1. Jika setiap elemen suatu baris atau kolom dari suatu matriks bujur sangkar A bernilai nol, maka det (A) = 0.

2. Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka det (A) = det (A^T).

3. Jika setiap elemen dari suatu baris atau kolom pada determinan dari matriks A dikalikan dengan suatu skalar k, maka k bisa dikeluarkan dari tanda determinan, atau : det(kA) = k.det(A).

4. Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan cara mempertukarkan dua baris atau dua kolom, maka det(B) = - det(A).

5. Jika dua baris atau kolom matriks A identik, maka det(A) = 0 Dua matriks dikatakan identik , jika suatu baris merupakan hasil kali dengan skalar k (di mana k anggota bilangan real) dari baris yang lain, atau suatu kolom merupakan hasil kali dengan skalar k ( di mana k anggota bilangan real) dari kolom yang lain.

6. Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang mempunyai ukuran sama, maka det(AB) = det(A) det(B).

C. Cara Menentukan Nilai Determinan

Matriks berordo 2 x 2
Matriks berordo 3 x 3
Matriks berordo n x n 

Dengan matriks kofaktor
Dengan Transformasi Baris Elementer (TBE)

1. Menentukan nilai determinan matriks berordo 2 x 2



2. Menentukan nilai determinan matriks berordo 3 x 3 dengan Aturan Sarrus

  

3. Menentukan determinan matriks n x n dengan matriks Kofaktor

 a. Minor dari suatu matriks bujur sangkar A adalah harga determinan sub matriks yang tetap, setelah menghilangkan baris ke i dan kolom ke j. Minor dari baris ke i dan kolom ke j, dinotasikan dengan M_ij.

 b. Kofaktor dari suatu matriks bujur sangkar dilambangkan dengan cij, yaitu c_ij = (-1)^i+jM_ij

Ada 2 cara, yaitu :

* Ekspansi Kofaktor sepanjang baris ke i : det(A) = a_i1c_i1 + a_i2c_i2 + … + a_inc_in

* Ekspansi Kofaktor sepanjang kolom ke j : det(A) = a_1jc_1j + a_2jc_2j + … + a_njc_nj

4 .Menentukan determinan matriks n x n dengan Transformasi Baris Elementer (TBE)

 a. Menukarkan dua baris Notasi = b_ij Arti = menukarkan baris ke-i dgn baris ke-j

 b. Mengalikan suatu bari dengan skalar k, k ≠ 0 Notasi = k.b_i Arti = mengalikan setiap elemen dari baris ke- i, dengan skalar k, k ≠ 0

 c. Menambahkan baris ke- i dengan k kali baris ke- j (k ≠ 0) Notasi= b_ij(k) Arti = b_i + k b_j(Perubahan terjadi pada b_i).

DEKOMPOSISI MATRIK DAN DETERMINAN

Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didekomposisi, jika terdapat matrik segitiga bawah L dan matrik segitiga atas U sedemikian rupa sehingga :

               A = LU

Akibatnya :

          det(A) = det(L) det (U)

CONTOH

TEKNIK MENGHITUNG DEKOMPOSISI, A=LU

(1)Metode Crout, mendekomposisi matrik yang menghasilkan elemen diagonal utama matrik segitiga atas U adalah  satu.

(2)Metode Doollite, mendekomposisi matrik yang menghasilkan elemen diagonal utama matrik segitiga bawah L adalah 1

(3)Metode Cholesky mendekomposisi matrik diagonal utama L dan U sama. Metode ini hanya untuk matrik simetris.

(4)Metode Operasi Elementer, mendekomposisi matrik menjadi segitiga atas atau segitiga bawah

DEKOMPOSISI : METODE CROUT

Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Crout adalah :

Kasus n=3

Rumus perhitungannya:

CONTOH :

Hitunglah determinan matrik berikut dengan metode dekomposisi

Jawab:

KASUS n=4 : METODE CROUT

Rumus iterasi perhitungannya adalah :

CONTOH :

Hitunglah determinan matrik berikut dengan metode dekomposisi

Jawab:

DEKOMPOSISI : METODE DOOLITTLE

Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Doolittle adalah :

Kasus n=3

Rumus perhitungannya :

KASUS n=4 : METODE DOOLITTLE

Rumus iterasi perhitungannya adalah :

Sekian dan Terima Kasih

Jika ada yang ingin di tanyakan tolong comment atau kirim pertanyaan ke email.