MATERI DETERMINAN DAN PENJELASAN DEKOMPOSISI MATRIK DAN DETERMINAN                                                              

A. Pengertian dan Definisi Determinan

Determinan adalah suatu bilangan real yang diperoleh dari suatu proses dengan aturan tertentu terhadap matriks bujur sangkar.

Determinan dinyatakan sebagai jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari matriks bujur sangkar A. 

Determinan dari sebuah matriks bujur sangkar A, dinotasikan dengan det(A), atau |A| 

B. Sifat-Sifat Determinan

1. Jika setiap elemen suatu baris atau kolom dari suatu matriks bujur sangkar A bernilai nol, maka det (A) = 0.

2. Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka det (A) = det (A^T).

3. Jika setiap elemen dari suatu baris atau kolom pada determinan dari matriks A dikalikan dengan suatu skalar k, maka k bisa dikeluarkan dari tanda determinan, atau : det(kA) = k.det(A).

4. Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan cara mempertukarkan dua baris atau dua kolom, maka det(B) = - det(A).

5. Jika dua baris atau kolom matriks A identik, maka det(A) = 0 Dua matriks dikatakan identik , jika suatu baris merupakan hasil kali dengan skalar k (di mana k anggota bilangan real) dari baris yang lain, atau suatu kolom merupakan hasil kali dengan skalar k ( di mana k anggota bilangan real) dari kolom yang lain.

6. Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang mempunyai ukuran sama, maka det(AB) = det(A) det(B).

C. Cara Menentukan Nilai Determinan

Matriks berordo 2 x 2
Matriks berordo 3 x 3
Matriks berordo n x n 

Dengan matriks kofaktor
Dengan Transformasi Baris Elementer (TBE)

1. Menentukan nilai determinan matriks berordo 2 x 2



2. Menentukan nilai determinan matriks berordo 3 x 3 dengan Aturan Sarrus

  

3. Menentukan determinan matriks n x n dengan matriks Kofaktor

 a. Minor dari suatu matriks bujur sangkar A adalah harga determinan sub matriks yang tetap, setelah menghilangkan baris ke i dan kolom ke j. Minor dari baris ke i dan kolom ke j, dinotasikan dengan M_ij.

 b. Kofaktor dari suatu matriks bujur sangkar dilambangkan dengan cij, yaitu c_ij = (-1)^i+jM_ij

Ada 2 cara, yaitu :

* Ekspansi Kofaktor sepanjang baris ke i : det(A) = a_i1c_i1 + a_i2c_i2 + … + a_inc_in

* Ekspansi Kofaktor sepanjang kolom ke j : det(A) = a_1jc_1j + a_2jc_2j + … + a_njc_nj

4 .Menentukan determinan matriks n x n dengan Transformasi Baris Elementer (TBE)

 a. Menukarkan dua baris Notasi = b_ij Arti = menukarkan baris ke-i dgn baris ke-j

 b. Mengalikan suatu bari dengan skalar k, k ≠ 0 Notasi = k.b_i Arti = mengalikan setiap elemen dari baris ke- i, dengan skalar k, k ≠ 0

 c. Menambahkan baris ke- i dengan k kali baris ke- j (k ≠ 0) Notasi= b_ij(k) Arti = b_i + k b_j(Perubahan terjadi pada b_i).

DEKOMPOSISI MATRIK DAN DETERMINAN

Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didekomposisi, jika terdapat matrik segitiga bawah L dan matrik segitiga atas U sedemikian rupa sehingga :

               A = LU

Akibatnya :

          det(A) = det(L) det (U)

CONTOH

TEKNIK MENGHITUNG DEKOMPOSISI, A=LU

(1)Metode Crout, mendekomposisi matrik yang menghasilkan elemen diagonal utama matrik segitiga atas U adalah  satu.

(2)Metode Doollite, mendekomposisi matrik yang menghasilkan elemen diagonal utama matrik segitiga bawah L adalah 1

(3)Metode Cholesky mendekomposisi matrik diagonal utama L dan U sama. Metode ini hanya untuk matrik simetris.

(4)Metode Operasi Elementer, mendekomposisi matrik menjadi segitiga atas atau segitiga bawah

DEKOMPOSISI : METODE CROUT

Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Crout adalah :

Kasus n=3

Rumus perhitungannya:

CONTOH :

Hitunglah determinan matrik berikut dengan metode dekomposisi

Jawab:

KASUS n=4 : METODE CROUT

Rumus iterasi perhitungannya adalah :

CONTOH :

Hitunglah determinan matrik berikut dengan metode dekomposisi

Jawab:

DEKOMPOSISI : METODE DOOLITTLE

Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Doolittle adalah :

Kasus n=3

Rumus perhitungannya :

KASUS n=4 : METODE DOOLITTLE

Rumus iterasi perhitungannya adalah :

Sekian dan Terima Kasih

Jika ada yang ingin di tanyakan tolong comment atau kirim pertanyaan ke email.

APA ITU MATRIK DAN DETERMINAN

Assalamualaikum Wr.wb.

         Perkenalkan Nama Saya Muhmmad Farras Hawari, Dari Mahasiswa STT-PLN Angkatan 2018. Saya disini akan memberikan materi Aljabar Matematika gimana materi ini sudah ada pada saat kita duduk di bangku SMP. Pertama-tama saya akan menjelaskan APA ITU MATRIK?

     MATRIK Adalah Kumpulan bilangan, simbol berbentuk empat persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom.

Istilah-istilah Matrik:

-Lambang Matrik yang digunakan huruf besar yaitu A,B,dan C.

-Elemen pada Matrik digunakan lambing huruf kecil yaitu a,b,dan c.

-Bagian tegak disebut kolom

-Ukuran Matrik disebut Ordo

                                    Contoh 1.2.0

Berikut ini jenis-jenis MATRIK:

A.Matrik Bujur Sangkar
Matrik Bujur Sangkar Adalah Matrik yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya, A dikatakan matrik bujur sangkar jika jumlah baris dan jumlah kolom A sama. Maka Matrik A dikatakan berordo n.

B.Matrik Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks yang elemen bukan diagonalnya bernilai nol. Dalam hal ini tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus tak nol.Matrik demikian diberi lambing D.











C.Matrik Segitiga
Matrik Segitiga Adalah matrik bujur sangkar yang elemen-elemen dibawah atau diatas elemen diagonal bernilai nol.Jika yang bernilai nol adalah elemen-elem dibawah elemen diagonal maka disebut matriks segitiga atas, sebaliknya disebut matriks segitiga bawah. Dalam hal ini,juga tidak disyaratkan bahwa elemne diagonal harus bernilai tak nol.

Matriks A adalah matriks segitiga bawah, matriks B adalah matriks segitiga atas sedangakan matriks C merupakan matriks segitiga bawah dan juga matriks segitiga atas.




D.Matrik Identitas
Matrik Identitas Adalah matrik diagonal yang elemen diagonalnya bernilai 1.Jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen selain diagonal utama 0,dan elemen diagonal utama 1.

Contoh 1.2.4

Itulah Materi Matrik yang bisa saya jelaskan buat kalian yang tidak mengerti apa itu Matrik, Baiklah selanjutnya saya akan menjelaskan materi APA ITU DETERMINAN?

         DETERMINAN Adalah adalah suatu bilangan real yang diperoleh dari suatu proses dengan aturan tertentu terhadap matriks bujur sangkar.Determinan dinyatakan sebagai jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari matriks bujur sangkar A. dari sebuah matriks bujur sangkar A, dinotasikan dengan det(A), atau |A|


Sifat-Sifat DETERMINAN:
1. Jika setiap elemen suatu baris atau kolom dari suatu matriks bujur sangkar A bernilai nol, maka det (A) = 0.
2. Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka det (A) = det (A^T).
3. Jika setiap elemen dari suatu baris atau kolom pada determinan dari matriks A dikalikan dengan suatu skalar k, maka k bisa dikeluarkan dari tanda determinan, atau : det(kA) = k.det(A).

4. Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan cara mempertukarkan dua baris atau dua kolom, maka det(B) = - det(A).

5. Jika dua baris atau kolom matriks A identik, maka det(A) = 0 Dua matriks dikatakan identik , jika suatu baris merupakan hasil kali dengan skalar k (di mana k anggota bilangan real) dari baris yang lain, atau suatu kolom merupakan hasil kali dengan skalar k ( di mana k anggota bilangan real) dari kolom yang lain.

A.DETERMINAN MATRIK Ordo 2 x 2
matriks ordo 2 dinyatakan seperti bentuk di bawah.

   

Nilai determinan A disimbolkan dengan , cara menghitung nilai determinan A dapat dilihat seperti pada cara di bawah.

   

B.METODE EKSPANSI LAPLACE

Metode ini menggunakan bantuan determinan matriks 2x2 yang terbentuk dari pencoretan bari ke I dan kolom ke j.Kita dapat memilih akan mengekspansikan ke arah mana yang kita mau,bisa searah baris ke i bisa juga ke kolom j. Contohnya dengan matrik A yang sama dengan contoh di atas dan kita ekspansi searah dengan baris 1.

Yang dicoret adalah bari 1 dan kolom 1, maka didapatkan sebuah bilangan baru dengan tanda positif dengan cara mengalikan elemen pada baris  1 dan kolom 1 dengan determinan matrik sisa percoretan yaitu:

Berikut penjelasan materi DETERMINAN dari saya , jika ada ada penjelasan belum di mengerti silahkan Comment di bawah . Terima Kasih .